I quesiti di matematica dal 2001 al 2008

 

Sono di seguito riportati tutti i quesiti assegnati nei temi di matematica per l’Esame di Stato del Liceo scientifico fin da quando, nel 2001, essi sono stati introdotti accompagnando i più tradizionali problemi.

I quesiti sono stati riordinati in base al contenuto matematico principale di cui trattano, secondo la seguente  suddivisione:

Per ogni quesito è indicato l’anno e se esso si riferisce al Liceo scientifico di ordinamento (ORD) oppure al Liceo scientifico sperimentale, di  tipo PNI o altro (PNI)

 

Geometria del piano e dello spazio, trigonometria, geometrie non-euclidee.

 

[2001, ORD] Si consideri il cubo di spigoli AA’, BB’, CC’, DD’, in cui le facce opposte sono i quadrati ABCD e A’B’C’D’. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACC’A’ e D’DE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.

 

[2001, ORD] Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula:
In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.

 

[2001, PNI] Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto.

 

[2001, PNI] Spiegare il significato di sistema assiomatico con particolare riferimento alla sistemazione logica della geometria.

 

[2002, ORD] Il rapporto fra la base maggiore e la base minore di un trapezio isoscele è 4. Stabilire, fornendone ampia spiegazione, se si può determinare il valore del rapporto tra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare il trapezio di un giro completo dapprima intorno alla base maggiore e poi intorno alla base minore o se i dati a disposizione sono insufficienti.

 

[2002, ORD] Due tetraedri regolari hanno rispettivamente aree totali A’ e A”e volumi V’ e V”. Si sa che A’/A”=2 . Calcolare il valore del rapporto V’/V”

 

[2003, ORD] Dopo aver fornito la definizione di ‘rette sghembe’, si consideri la seguente proposizione: «Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe». Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 

[2003, ORD] Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.

 

[2003, ORD] Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A si può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è allineato con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB.

 

[2004, ORD e PNI] Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.

 

[2004, ORD e PNI] La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi  sessagesimali, i  radianti, i gradi  centesimali. Quali ne sono le definizioni?

 

[2004, PNI]  Un solido viene trasformato mediante una similitudine di rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l’area della sua superficie?

 

[2005, ORD e PNI] Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare sen18°, sen36°.

 

[2005, ORD] I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E’ un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei due solidi?

 

[2005, ORD] Si calcoli, senza l’aiuto della calcolatrice, il valore di: sen2 ( 35° ) + sen2 ( 55° ) ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali.

 

[2006, ORD e PNI] I poliedri regolari – noti anche come solidi platonici – sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro. Sai dimostrarlo?

 

[2006, ORD] La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo inscritto in una sfera di un metro di diametro. Quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio?

 

[2006, PNI] In un piano sono dati una retta r e due punti A e B ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunga A con B toccando r.

 

[2007, ORD] Le misure dei lati di un triangolo sono 40, 60 e 80 cm . Si calcolino, con l’aiuto di una calcolatrice, le

ampiezze degli angoli del triangolo approssimandole in gradi e primi sessagesimali.

 

[2007, ORD e PNI] Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sfera S e che l'asse di rotazione terrestre sia una retta r passante per il centro di S, come si può procedere per definire in termini geometrici meridiani e paralleli e introdurre un sistema di coordinate geografiche terrestri?

 

[2007 PNI] Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.

 

[2007 PNI] Si consideri il teorema: «la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto» e si spieghi perché esso non è valido in un contesto di geometria non-euclidea. Quali le formulazioni nella geometria iperbolica e in quella ellittica? Si accompagni la spiegazione con il disegno.

 

[2007 PNI] Si determini l’equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y = x2 +1 nel punto (1, 2).

 

[2008 PNI e ORD]

Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che

[2008 PNI] I lati di un parallelepipedo rettangolo misurano 8, 9 e 12 cm. Si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ampiezza dell’angolo che la diagonale mandata da un vertice fa con ciascuno dei tre spigoli concorrenti al vertice.

 

[2008 PNI] Perché è geometria “non” euclidea? Che cosa e come viene negato della geometria euclidea? Si illustri la questione con gli esempi che si ritengono più adeguati.

 

[2008 ORD] Si consideri la seguente proposizione: “Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa `e vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.

 

 

 

 

Trasformazioni geometriche

 

[2002, PNI] Spiegare, con esempi appropriati, la differenza tra omotetia e similitudine nel piano.

 

[2004, PNI] Nel piano è data la seguente trasformazione:

Di quale trasformazione si tratta?

 

[2005, PNI] Si determinino le equazioni di due simmetrie assiali σ e φ la cui composizione σ dia luogo alla traslazione di equazione:

Si determinino poi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo le due

simmetrie in ordine inverso  .

 

[2005, PNI] Le rette r e s d’equazioni rispettive y = 1 + 2x e y = 2x - 4 si corrispondono in una omotetia σ di centro l’origine O. Si determini σ.

 

[2007, PNI] Si dimostri che l’insieme delle omotetie con centro O fissato è un gruppo.

 

[2008, PNI] Qual è l’equazione della curva simmetrica rispetto all’origine di y = e−2x ? Quale quella della curva simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante?

 

Funzioni ed equazioni

 

[2001, PNI] Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione:

 

[2002, ORD] Determinare, se esistono, i numeri a, b in modo che la seguente relazione:

 sia un’identità.

 

[2002, ORD] In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani (Oxy), è assegnato il luogo geometrico dei punti che soddisfano alla seguente equazione:

Tale luogo è costituito da:

A) un punto;

B) due punti;

C) infiniti punti;

D) nessun punto.

Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 

[2003, ORD] Il dominio della funzione f(x) = è l’insieme degli x reali tali che:

A) -1<x≤3;

B) -1≤x<3;

C) 0<x≤3;

D) 0≤x<3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.

[2003, ORD] La funzione 2x3-3x2+2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

 

[2003, ORD] Il valore dell’espressione  è 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta.

 

[2003, PNI] Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

 

[2003, PNI] Si vuole che l’equazione x3 +bx - 7 = 0 abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?

 

[2004, ORD e PNI] Trovate due numeri reali a e b, a≠ b, che hanno somma e prodotto uguali.

 

[2004, ORD] Dimostrate che l’equazione ex + 3x = 0 ammette una e una sola soluzione reale.

 

[2005, ORD] Se f ( x) =, per quanti numeri reali k è f(k) = 2 ? Si illustri il ragionamento seguito.

 

[2006, ORD e PNI] L’equazione risolvente un dato problema è: k cos2x − 5k + 2 = 0 dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 15° < x < 45° . Si discuta per quali valori di k le radici dell’equazione siano soluzioni del problema.

 

[2007, ORD] Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione: x3 – x2 – k + 1 = 0

 

[2007, PNI] Si dimostri che l’equazione 2x3 − 3x2 + 6x + 6 = 0 ha un’unica radice reale e si trovi il suo valore con una

precisione di due cifre significative.

 

[2008, PNI] Nel piano riferito a coordinate cartesiane si dica qual è l’insieme dei punti per i quali risulta: y2 – x3 > 0

 

[2008, ORD] Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:x3 − 3x2 + k = 0.

 

[2008, ORD] Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (fig. sotto) preavverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è 10%. Se si sta realizzando una strada rettilinea che, con un percorso di 1, 2 km, supera un dislivello di 85m, qual è la sua inclinazione (in gradi sessagesimali)? Quale la percentuale da riportare sul segnale?

Analisi

 

[2001,ORD] Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x)àl per x àa, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = l e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.

 

[2001, ORD] Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f(0) = 2. Calcolare:  dove e è la base dei logaritmi naturali.

 

[2001, ORD] Considerata la funzione: f(x) = ax3 + 2ax2 – 3x dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.

 

[2001, ORD] Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a,b] e tale che, per ogni x di tale intervallo, risulti  f ′ (x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in quell’intervallo

[2001, ORD] Il limite della funzione quando x tende a + ,

a) è uguale a 0;

b) è uguale ad 1;

c) è un valore diverso dai due precedenti;

d) non è determinato.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.

 

[2001, ORD] Si consideri la funzione Stabilire se si può calcolarne il limite per xà +e spiegare se il calcolo può essere effettuato ricorrendo al teorema di De L’Hopital.

 

[2001, PNI] Dimostrare che se p(x) è un polinomio allora tra due qualsiasi radici distinte di p(x) c’è una radice di p′(x).

 

[2001, PNI] Calcolare la derivata della funzione f(x)=arcsenx+arcosx. Quali conclusioni se ne possono trarre per la f(x)?

 

[2001, PNI] Calcolare l’integrale  

 

[2001, PNI] Dire, formalizzando la questione e utilizzando il teorema del valor medio o di Lagrange, se è vero che: «se un automobilista compie un viaggio senza soste in cui la velocità media e 60 km/h, allora almeno una volta durante il viaggio il tachimetro dell’automobile deve indicare esattamente 60 km/h».

 

[2002, ORD] Si consideri la funzione:

Stabilire se ammette massimo o minimo assoluti nell’intervallo 1/2 £ x £2

 

[2002, ORD] Calcolare la derivata, rispetto ad x, della funzione f(x) tale che: f(x) = con x > 0.

 

[2002, ORD] La funzione reale di variabile reale  f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [1,3] e derivabile nell’intervallo aperto (1,3). Si sa che f(1)=1 e inoltre 0£ f ′(x) £2 per ogni x dell’intervallo (1,3). Spiegare in maniera esauriente perché risulta 1£f(3) £5 .

 

[2002, ORD] La funzione reale di variabile reale f(x), continua per ogni x, è tale che:

                       dove a, b sono numeri reali.

Determinare, se esistono, i valori a, b per cui risulta:

               e             

 

[2002, PNI] Calcolare

 

[2002, PNI] Cosa si intende per “funzione periodica”? Quale è il periodo di  Quale quello di ?

 

[2002, PNI] Utilizzando il teorema di Rolle, si verifichi che il polinomio  ( p,qR),

se n è pari ha al più due radici reali, se n è dispari ha al più tre radici reali.

 

[2002, PNI] Data la funzione  calcolarne i limiti per x tendente a + e -e provare che esiste un numero reale a con 0<a<1 in cui la funzione si annulla.

 

[2002, PNI] Verificare che la funzione 3xlogx è strettamente crescente. Detta g la funzione inversa, calcolare g’(3) .

[2002, PNI] Trovare f(4) sapendo che 

[2003, ORD] La derivata della funzione f(x) = è la funzione f’(x) = . Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l’affermazione.

 

[2003, PNI] Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (1652-1719)], che se l’equazione:

ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell’equazione:

 [2003, PNI] Dare un esempio di solido il cui volume è dato da

[2003, PNI] Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e che f (0)=1. Quanto vale  ?

[2004, ORD e PNI] Date un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (-1, 2).

 

[2004, ORD e PNI] Di una funzione g(x) , non costante, si sa che:   e g(2) = 4

Trovate una espressione di g(x) .

 

[2004, ORD] Verificate che le due funzioni f (x) = 3log x e g(x) = log(2x)3 hanno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date?

      [2004, ORD] Calcolate: 

[2005, ORD] Si dimostri che la curva y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è tangente alla retta

 y = −x quando sen x = −1

 

[2005, ORD] 5. Il numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]: come si definisce? Perché la derivata di ex è ex ?

 

[2005, ORD] Si dimostri, calcolandone la derivata, che la funzione  è costante, indi si calcoli il valore di tale costante.

 

[2005, PNI] Si dia una definizione di retta tangente ad una curva. Successivamente, si dimostri che la curva y = x sen x è tangente alla retta y = x quando sen x = 1 ed è tangente alla retta y = −x quando sen x = −1 .

 

[2005, PNI] Si trovi l’equazione della retta tangente alla curva di equazioni parametriche x = et+ 2 e y = e–t+ 3 nel suo punto di coordinate (3, 4).

 

[2006, ORD] La funzione f (x)=x3 – 2x2  soddisfa le condizioni del teorema di Lagrange nell’intervallo [0,1]? Se si, trova il punto ξ che compare nella formula

 

[2006, ORD] La funzione f (x)= tgx assume valori di segno opposto negli estremi dell’intervallo , eppure non esiste alcun xÎ I tale che f (x) = 0 . È così? Perché?

 

[2006, ORD e PNI] Della funzione f (x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f ′(x)= f (x) e f (0)= 1. Puoi determinare f (x)?

 

[2006, ORD] La funzione f (x)=asen x+bcos x ha un estremo relativo per  ed è .

Si trovino a e b e si dica quale è il periodo di f (x).

 

[2007, ORD] Si mostri che la funzione y = x3 + 8 soddisfa le condizioni del teorema del valor medio (o teorema di Lagrange) sull’intervallo [-2, 2]. Si determinino i valori medi forniti dal teorema e se ne illustri il significato geometrico.

 

[2007, ORD] Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all’origine), definita e integrabile nell'intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo? Quanto vale nel medesimo intervallo l'integrale della funzione 3+ f(x)?

 

[2007, ORD] Si calcoli l’integrale indefinito e, successivamente, si verifichi che il risultato di   è in accordo con il suo significato geometrico.

 

 

[2007, ORD]  La regione R delimitata dal grafico di y = 2 x ,

dall’asse x e dalla retta x = 1 (in figura) è la base di un solido S

le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari

all’asse x, sono tutte triangoli equilateri.

Si calcoli il volume di S.

 

[2007, PNI]  La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione y = ln x e l’asse x, con 1 ≤ x ≤ e, è la base di

un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse x, sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di 10-2.

 

[2008, PNI]  Un solido ha per base un cerchio di raggio 1. Ogni sezione del solido ottenuta con un piano perpendicolare ad un prefissato diametro è un triangolo equilatero. Si calcoli il volume del solido.

 

[2008, PNI e ORD]  Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che è:

 

[2008, PNI e ORD] Sia f la funzione definita da f(x) = π x - x π . Si precisi il dominio di f e si stabilisca il segno delle sue derivate, prima e seconda, nel punto π =x.

 

[2008, ORD] Si determini un polinomio P(x) di terzo grado tale che:   P(0) = P′(0) = 0,    P(1) = 0   e  

[2008, ORD] Sia ; esiste ? Si giustifichi la risposta.

 

Problemi di ottimizzazione

 

[2003, PNI] Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm?

 

[2004, ORD] Un triangolo ha due lati e l’angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a, b e δ. Quale è il valore di δ che massimizza l’area del triangolo?

 

[2001, ORD] Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:

a) area massima e perimetro massimo;

b) area massima e perimetro minimo;

c) area minima e perimetro massimo;

d) area minima e perimetro minimo.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne un’esauriente spiegazione.

 

[2004, PNI] Tra i triangoli di base assegnata e di uguale area, dimostrare che quello isoscele ha

perimetro minimo.

 

[2005, ORD e PNI] Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinché sia minima la quantità di materiale necessario per

realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta).

 

[2005, ORD] Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.

 

[2006, ORD] Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm2, margini superiore e inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si può utilizzare?

 

[2007, ORD] Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 1 metro. Si dica quanti litri di olio il serbatoio può contenere.

 

[2008, ORD] Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?

 

Insiemi numerici e combinatoria

 

[2001, ORD] Dimostrare che si ha:

dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.

 

[2002, ORD] Considerati i numeri reali a, b, c, d - comunque scelti - se a>b e c>d allora:

A) a+d > b+c;

B) a-d > b-c;

C) ad > bc;

D) a/d > b/c

Una sola alternativa è corretta: individuarla e motivare esaurientemente la risposta.

 

[2002, ORD] Si consideri la seguente proposizione: “La media aritmetica di due numeri reali positivi, comunque scelti, è maggiore della loro media geometrica”. Dire se è vera o falsa e motivare esaurientemente la risposta.

 

[2003, ORD] Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1:

1, 2, 3, . ,  n-1,  n ,

moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale a:

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

 

[2003, ORD] x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x – y = 2. Il numero x3 – y3:

                        A) è divisibile per 2 e per 3.

                        B) è divisibile per 2 ma non per 3.

                        C) è divisibile per 3 ma non per 2.

                        D) non è divisibile né per 2 né per 3.

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

 

[2003, ORD] Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.

 

[2003, PNI] Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

 

[2004, ORD e PNI] Considerate gli insiemi A ={1,2,3,4} e B = {a, b, c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

 

[2005, ORD e PNI] Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perchè?

 

[2006, ORD e PNI] Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.

 

[2008, ORD] Se  con n > 3 sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

 

[2006, ORD e PNI] Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b)n è uguale a 2n per ogni n ÎN .

[2007, ORD]

 

 

Probabilità e statistica, logica

 

[2001, PNI] Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze. Tra i sedici allievi se ne scelgono 3 a caso; qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

 

[2002, PNI] Se a e b sono numeri positivi assegnati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è più grande? E perché? Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

 

[2002, PNI] Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Merè (1620-1685) amico di Blaise Pascal: “giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”

 

[2002, PNI] Assumendo che i risultati - X, 1, 2 - delle 13 partite del Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

 

[2003, PNI] Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.

A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.

Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?

 

[2005, PNI] Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?

 

[2005, PNI] Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più. Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni? Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

 

[2006, PNI] Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda: “che cos’è la probabilità?” era solito rispondere: “la probabilità non esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E’ possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

 

[2006, PNI] Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥ 0,99 di colpirlo almeno una volta?

 

[2007, ORD] Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggiorazione del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni. Che cosa si può dire del prezzo finale dell’abito?

 

[2007, PNI] Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

 

[2007, PNI] Si consideri la funzione:  

Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della matematica illustrando il significato di μ, σ, σ2 e come tali parametri influenzino il grafico di f(x).

 

[2007, PNI] A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare».

 

[2008, PNI] Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

 

[2008, PNI] In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse?

 

[2008, PNI] Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a caso un punto all’interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

 

 

 

Metodi numerici

 

[2001, PNI] Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito

               

e si confronti il risultato ottenuto con il valore esatto dell’integrale.

 

[2001, PNI] Verificato che l’equazione x–e–x=0 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

 

[2003, PNI] Verificare l’uguaglianza  e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di p, applicando un metodo di integrazione numerica.

 

[2003, PNI] Verificare che l’equazione x 3–3x+1=0  ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

 

[2004, PNI] Si dimostri che l’equazione ex+ 3x = 0 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

 

[2005, PNI] Come si definisce e quale è l’importanza del numero e di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]? Si illustri una procedura che consenta di calcolarlo con la precisione voluta.

 

[2006, PNI] Si dimostri che l’equazione sen x = x −1 ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima. Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.

 

[2006, PNI] Tenuto conto che:  calcola un’approssimazione di p utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.